単位ベクトル

ここでは単位ベクトルについて、ゆっくり考えておきましょう。

まずは「ベクトルの内積」のおさらいから始めましょう。

ベクトルの長さ

ベクトル \(\overrightarrow{v}\) の長さを \(\| \overrightarrow{v} \|\) と書きます。

ベクトル \(\overrightarrow{v}\) の成分が \(\langle v_1, v_2, v_3\rangle\) のとき、次の関係になります。

\[ \| \overrightarrow{v} \| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]

ベクトルの内積 (ドット積) と長さの関係は、次のようにかけます。

\[ \| \overrightarrow{v} \|^2 = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \]

単位ベクトル (Unit Vector) とは「長さが \(1\) のベクトルのこと」です。

ベクトル \(\overrightarrow{v}\) があって、\(\| \overrightarrow{v} \| = 1\) であれば、ベクトル \(\overrightarrow{v}\) は単位ベクトルです。

ベクトル \(\overrightarrow{v}\) と同じ向きの単位ベクトルは、次のようにかけます。

\[ \frac{\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{v}\|} \]

自分自身の長さで割り算しているので、長さが \(1\) になるということです。例えば、ベクトル \(\overrightarrow{v}\) の長さ \(\| \overrightarrow{v} \| = 3\) であれば、その長さ \(3\) で割れば長さは \(1\) になります。

\(xyz\) 直交座標系で、\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸、それぞれの方向の単位ベクトルを \(\overrightarrow{i}\)、\(\overrightarrow{j}\)、\(\overrightarrow{k}\) とします。

このとき、\(\overrightarrow{i}\)、\(\overrightarrow{j}\)、\(\overrightarrow{k}\) のことを 基本ベクトル といいます。

英語では Standard Unit Vector です。日本語では「標準単位ベクトル」とは言わず、「基本ベクトル」といいます。

任意のベクトル \(\overrightarrow{v} = \langle v_1, v_2, v_3\rangle\) は、基本ベクトルを使うと次のようなベクトルの和の形で表せます。

\(\overrightarrow{v} = v_1 \overrightarrow{i} + v_2 \overrightarrow{j} + v_3 \overrightarrow{k}\)