クレローの微分方程式 問題 (1)

これは非正規形の一階高次微分方程式です。

問題の式を $y = xy' + f(y')$ とすると、特にクレローの微分方程式と言われる形です。

このとき $f(x) = x^2$ で、$f'(x) = 2x$ です。

クレローの微分方程式は

という形で、解は次のようになります。

よって、一般解はただちに ($y'$ を $C$ に置き換えるだけ)、次であることがわかります。

$$y = Cx + C^2$$

特異解は $p$ を媒介変数として、次となります。

$$\begin{aligned} x &= - f'(p) = -2p\\ y &= -p \cdot 2p + p^2 = - p^2 \end{aligned}$$

$p$ を消去すると、$y = -\cfrac{x^2}{4}$ です。