クレローの微分方程式 問題 (1)

これは非正規形の一階高次微分方程式です。

問題の式を \(y = xy' + f(y')\) とすると、特にクレローの微分方程式と言われる形です。

このとき \(f(x) = x^2\) で、\(f'(x) = 2x\) です。

クレローの微分方程式は

という形で、解は次のようになります。

よって、一般解はただちに (\(y'\) を \(C\) に置き換えるだけ)、次であることがわかります。

\[y = Cx + C^2\]

特異解は \(p\) を媒介変数として、次となります。

\[ \begin{aligned} x &= - f'(p) = -2p\\ y &= -p \cdot 2p + p^2 = - p^2 \end{aligned} \]

\(p\) を消去すると、\(y = -\cfrac{x^2}{4}\) です。