置換積分 問題 (1)
次の定積分の値を求めよ。
被積分関数が \(e^x\) の分数になっていて、ややこしそうですね。
\(u = e^{x}\) と置き換えてみましょう。
まずは \(x\) が \([0, 1]\) のときの \(u\) の値を調べます。
これで \(u\) が変数となるときの積分区間がわかりました。
非積分関数は \(u\) で書き換えると次のようになります。
\[ \begin{aligned} \frac{e^x}{1+e^{2x}} &= \frac{e^x}{1+(e^x)^2} \\ &= \frac{u}{1+u^2} \end{aligned} \]
\(u\) を \(x\) で微分すると、
\[ \frac{du}{dx} = e^x \]
ですが、微分した結果も \(e^x\)、つまり \(u\) ですから、
\[ \begin{aligned} \frac{du}{dx} &= u\\ \therefore dx &= \frac{du}{u} \end{aligned} \]
となります。
よって、問題分の定積分は次のように計算できます。
\(u = e^x\) とおくと、\(x\) が 0, 1 のとき、\(u\) はそれぞれ \(1, e\) に対応する。 また \(u\) を \(x\) で微分すると \(\cfrac{du}{dx} = u\) であるから \(dx = \cfrac{du}{u}\) である。
よって、この定積分は次のように計算できる。
これで計算ができました。
置換積分する、という点以外のところでのポイントは次の点でしょう。
逆三角関数の不定積分は覚えてしまおう
この計算の途中で、\(\displaystyle\int \cfrac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C\) を使っています。
これは覚えておかないと、計算の途中で手が止まってしまいますので、覚えてしまいましょう。
\(\arctan 1\) は意味がわかれば即答
さらに、\(\arctan 1\) が \(\cfrac{\pi}{4}\) という点については大丈夫でしたか？
これは、\(\arctan x\) というモノの意味をわかっていれば、直感的にすぐにわかります。
\(\arctan x\) は「タンジェントを x にする角度 [rad]」のこと、です。
よって、\(\arctan 1\) は「タンジェントを 1 にする角度」ですから、直ちに \(\cfrac{\pi}{4}\) とわかります。
\(\tan x\) は周期関数なので、タンジェントを 1 にする角度は無数にあります。しかし、逆関数に関しては主値の範囲で定義されているので \(\cfrac{\pi}{4}\) ひとつです。
不安な人は「逆三角関数」をみてください。
ちょっと迷ってしまう時は、逆三角関数を \(\arctan x\) と書かないで \(\tan^{-1} x\) と書くことでも、機械的にわかります。
\(\tan^{-1} 1 = A\) とおくと、\(1 = \tan A\) ですから、このときの A を求めれば良いことがわかります。