ロピタルの定理 例題 (2)
次の極限値を求めよ。
\(\cos x\) の \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) 乗です。
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = 1\) かつ \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \cfrac{1}{x^2} = \infty\) ですから、 \(1^{\infty}\) 形の不定形です。
乗数に変数が含まれているので、対数をとって計算をしましょう。
\(y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}\) として対数を取る。
\[ \begin{aligned} \ln y &= \ln (\cos x)^{\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{\ln \cos x}{x^2} \end{aligned} \]
この \(x \to 0\) の極限値を考える。
\[ \lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{x^2} \]
これは \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln (\cos x) = 0\) かつ \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0\) であるから不定形である。
ロピタルの定理から次が成り立つ。
\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \ln y &= \lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{(\ln \cos x)'}{(x^2)'}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{- \tan x}{2x}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{- (\tan x)'}{(2x)'}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{- \cfrac{1}{\cos^2 x}}{2}\\ &= - \frac{1}{2} \end{aligned} \]
よって、問題の極限値は次のように求められる。
\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} y &= \lim_{x \to 0} e^{\ln y}\\ &= e^{-\frac{1}{2}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned} \]