2階非同次線形微分方程式の基本的な解き方

2階の非同次微分方程式とは

次の形の微分方程式で、右辺の \(r(x)\) が \(0\) ではない場合、非同次 (nonhomogeneous) の微分方程式といいます。

上式で \(r(x) = 0\) のとき、同次方程式といいます。

具体例でいうと、

は、右辺の \(r(x)\) にあたるところが \(0\) ではないので非同次式です。これの右辺を \(0\) にした

は、上の非同次式に対する「同次式」ということになります。

非同次微分方程式の一般解

非同次微分方程式の一般解は、それに対する同次式の一般解 \(y_{h}\) と、非同次式を満たす特殊解 \(y_{p}\) の和になることが知られています。

\(y_{h}\) の添字の \(h\) は「同次式」の英語 homogenous equations の h です。homogenous の発音は、カタカナで書くと「ホゥモゥジーニアス」に近い発音です。

\(y_{p}\) の添字の \(p\) は「特殊解」の英語 particular solution の p です。

このため、非同次微分方程式を解くときには、同次式の一般解 \(y_{h}\) を求め、 さらに非同次式を満たす解 (なんでもいいからひとつ) を探すことになります。

大事な点なので、もう少し説明します。

同次式の一般解 \(y_{h}\) を求める

非同次微分方程式、

の一般解を求めるには、はじめに、それに対する同次式である、

を考え、同次式の一般解を求めます。

例えば、非同次微分方程式、

の一般解を求めるには、それに対する同次式である、

を考えて、一般解を求めます。この例では定数係数の2階同次線形微分方程式なので、「定数係数の2階同次線形微分方程式の解法」に書いたように、特性方程式を考えることで、次のように一般解が求められます。

\[ y_{h} = C_1 e^{-x} + C_2 e^{4x} \]

ここで \(C_1\) と \(C_2\) は任意の定数です。

非同次式の特殊解 \(y_{p}\) を求める

次に、元の非同次微分方程式を満たす、特殊解 \(y_{p}\) を求めます。 特殊解はなんでもいいから、ひとつ発見できれば、それが特殊解ということになります。

例えば、非同次微分方程式、

の特殊解を求めるには、特殊解として例えば \(y = Ae^{2x}\) を予想してみます。\(A\) は何らかの定数とします。もし、この \(A\) が定まれば特殊解が求められたことになります。

\(y = Ae^{2x}\) を微分すると、 \(y' = 2Ae^{2x} \) さらにもう一度微分すると \(y'' = 4Ae^{2x} \) ですから、これを元の非同次式に代入すると、

\[ \begin{aligned} y'' - 3y' - 4y &= 4Ae^{2x} - 3(2Ae^{2x}) - 4Ae^{2x}\\ &= (8A - 6A - 8A)e^{2x}\\ &= -6Ae^{2x} \end{aligned} \]

です。したがって \(-6A e^{2x} = 3e^{2x}\) を満たすように \(A = -\cfrac{1}{2}\) とすれば、

\[ y_p = - \frac{1}{2} e^{2x} \]

が、与えられた非同次微分方程式を満たすので、これが特殊解であるといえます。

以上から、非同次微分方程式、

の一般解は「同次式の一般解」＋「非同次式の特殊解」から、

となります。

以上で、非同次微分方程式の一般解が求められました。