ロンスキー行列式と線形同次微分方程式の解の独立性
ロンスキー行列式 (Wronski determinant) は次で定義されます。
\(n\)個の関数 \(f_1(x), \cdots, f_n(x)\) に対して、次の行列式を \(f_1(x), \cdots, f_n(x)\) の ロンスキー行列式 \(W(f_1, \cdots, f_n)\) という。
\[ W(f_1, \cdots, f_n) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x)\\ f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x)\\ & & \cdots & \\ f^{(n)}_1(x) & f^{(n)}_2(x) & \cdots & f^{(n)}_n(x) \end{vmatrix} \]
「ロンスキー行列式 (Wronski determinant)」の他、「ロンスキアン (Wronskian)」とも呼ばれます。
このロンスキー行列式を使うと、同次線形微分方程式の解の独立性がわかります。
線形同次微分方程式
\[ y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}(x)y'+p_{n}(x)y=0 \]
の解 \(y_1(x)\), \(\cdots\), \(y_n(x)\) が一次独立である必要十分条件は、\(x\) の開区間\(I\) \((a,b)\) で ロンスキー行列式 (wronski determinant) が \(0\) にならないこと、すなわち、
\[ W(x)=W(y_1, \cdots, y_n) \ne 0 \ (a \lt x \lt b) \]
が成り立つことである。(ただし \(I\) で \(p_n(x) (n=1, \cdots , n)\) は連続とする)
2階同次線形微分方程式の解について
特に2階同次線形微分方程式について書き下しておくと、次のように言えます。
線形同次微分方程式
\[ y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0 \]
の解 \(y_1(x)\), \(y_2(x)\) が一次独立である必要十分条件は、\(x\) の開区間\(I\) \((a,b)\) で ロンスキー行列式 (wronski determinant)
\[ W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x)\\ y'_1(x) & y'_2(x) \end{vmatrix} \]
が \(0\) にならないことである。
さてここで具体的に、\(y_1(x)=e^{\lambda_1x}\) と \(y_2(x)=e^{\lambda_2x}\) を考えてみましょう。
ロンスキー行列式は次の通りです。
\[ \begin{aligned} W(y_1, y_2) &= \begin{vmatrix} e^{\lambda_1x} & e^{\lambda_2x}\\ \lambda_1e^{\lambda_1x} & \lambda_2e^{\lambda_2x} \end{vmatrix}\\ &= \lambda_2 e^{(\lambda_1+\lambda_2)x} - \lambda_1 e^{(\lambda_1+\lambda_2)x}\\ &= (\lambda_2 - \lambda_1) e^{(\lambda_1+\lambda_2)x} \end{aligned} \]
これらが線形独立である必要十分条件は、
\[ W = (\lambda_2 - \lambda_1) e^{(\lambda_1+\lambda_2)x} \ne 0 \]
より、\(\lambda_1 \ne \lambda_2\) であることがわかります。
また特性方程式が重根を持つ場合の一般解に出てくる \(y_1=e^{\lambda x}\) と \(y_2 = xe^{\lambda x}\) についてロンスキー行列式を考えると、
\[ \begin{aligned} W(y_1, y_2) &=\begin{vmatrix} e^{\lambda x} & xe^{\lambda x}\\ \lambda e^{\lambda x} & (1+\lambda x)e^{\lambda x} \end{vmatrix}\\ &= e^{2\lambda x} \ne 0 \end{aligned} \]
となることから、\(y_1=e^{\lambda x}\) と \(y_2 = xe^{\lambda x}\) は線形独立であることがわかります。