ロンスキー行列式と線形同次微分方程式の解の独立性

ロンスキー行列式 (Wronski determinant) は次で定義されます。

$n$ 個の関数 $f_1(x), \cdots, f_n(x)$ に対して、次の行列式を $f_1(x), \cdots, f_n(x)$ のロンスキー行列式 $W(f_1, \cdots, f_n)$ という。

$W(f_1, \cdots, f_n) = \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x)\\ f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x)\\ & & \cdots & \\ f^{(n)}_1(x) & f^{(n)}_2(x) & \cdots & f^{(n)}_n(x) \end{vmatrix}$

「ロンスキー行列式 (Wronski determinant)」の他、「ロンスキアン (Wronskian)」とも呼ばれます。

このロンスキー行列式を使うと、同次線形微分方程式の解の独立性がわかります。

線形同次微分方程式

$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}(x)y'+p_{n}(x)y=0$

の解 $y_1(x)$ , $\cdots$ , $y_n(x)$ が一次独立である必要十分条件は、 $x$ の開区間 $I$ $(a,b)$ でロンスキー行列式 (wronski determinant) が $0$ にならないこと、すなわち、

$W(x)=W(y_1, \cdots, y_n) \ne 0 \ (a \lt x \lt b)$

が成り立つことである。(ただし $I$ で $p_n(x) (n=1, \cdots , n)$ は連続とする)

2階同次線形微分方程式の解について

特に2階同次線形微分方程式について書き下しておくと、次のように言えます。

線形同次微分方程式

$y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0$

の解 $y_1(x)$ , $y_2(x)$ が一次独立である必要十分条件は、 $x$ の開区間 $I$ $(a,b)$ でロンスキー行列式 (wronski determinant)

$W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x)\\ y'_1(x) & y'_2(x) \end{vmatrix}$

が $0$ にならないことである。

さてここで具体的に、 $y_1(x)=e^{\lambda_1x}$ と $y_2(x)=e^{\lambda_2x}$ を考えてみましょう。

ロンスキー行列式は次の通りです。

$\begin{aligned} W(y_1, y_2) &= \begin{vmatrix} e^{\lambda_1x} & e^{\lambda_2x}\\ \lambda_1e^{\lambda_1x} & \lambda_2e^{\lambda_2x} \end{vmatrix}\\ &= \lambda_2 e^{(\lambda_1+\lambda_2)x} - \lambda_1 e^{(\lambda_1+\lambda_2)x}\\ &= (\lambda_2 - \lambda_1) e^{(\lambda_1+\lambda_2)x} \end{aligned}$

これらが線形独立である必要十分条件は、

$W = (\lambda_2 - \lambda_1) e^{(\lambda_1+\lambda_2)x} \ne 0$

より、 $\lambda_1 \ne \lambda_2$ であることがわかります。

また特性方程式が重根を持つ場合の一般解に出てくる $y_1=e^{\lambda x}$ と $y_2 = xe^{\lambda x}$ についてロンスキー行列式を考えると、

$\begin{aligned} W(y_1, y_2) &=\begin{vmatrix} e^{\lambda x} & xe^{\lambda x}\\ \lambda e^{\lambda x} & (1+\lambda x)e^{\lambda x} \end{vmatrix}\\ &= e^{2\lambda x} \ne 0 \end{aligned}$

となることから、 $y_1=e^{\lambda x}$ と $y_2 = xe^{\lambda x}$ は線形独立であることがわかります。