フーリエ積分 例題(1)

フーリエ積分の式に当てはめて、計算していきましょう。

フーリエ積分は

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} [A(s) \cos sx + B(s) \sin sx] ds\\ A(s) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos st dt\\ B(s) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin st dt \end{aligned} \]

で求まります。

この問題では、 \(f(x)\) は \((0 \lt x \lt 1)\) 以外では \(0\) ですから、\(A(s)\) は次のようになります。

\[ \begin{aligned} A(s) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos st dt\\ &= \frac{1}{\pi} \Big\{ \underbrace{\int_{-\infty}^0 f(t) \cos st dt}_{=0} + \int_{0}^1 f(t) \cos st dt + \underbrace{\int_{1}^{\infty} f(t) \cos st dt}_{=0} \Big\}\\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^1 \cos st dt\\ &= \frac{1}{\pi} \Big[\frac{1}{s} \sin st \Big]_0^1\\ &= \frac{\sin s}{\pi s} \end{aligned} \]

同様に \(B(s)\) も次のようになります。

\[ \begin{aligned} B(s) &= \frac{1}{\pi} \int_0^1 \sin st dt\\ &= \frac{1}{\pi} \Big[ -\frac{1}{s} \cos st \Big]_0^1\\ &= \frac{1 - \cos s}{\pi s} \end{aligned} \]

したがって、\(f(x)\) のフーリエ積分は次の通りです。

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} [ A(s) \cos sx + B(s) \sin sx ] ds\\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\sin s \cos sx + (1 - \cos s) \sin sx}{s} ds \end{aligned} \]

尚、「フーリエ積分」で、フーリエ積分 [2] として記載した次の式、

を用いても、もちろん同じ結果になります。

• フーリエ積分 例題(1)
• フーリエ積分 例題(2)