フーリエ変換 例題(1)
次の関数のフーリエ変換 \(F(s)\)を求めよ。
\[ f(x) = \begin{cases} \ \ e^{-x} \ \ &(x \gt 0)\\ \ \ 0 \ \ &(x \lt 0) \end{cases} \]
関数 \(f(x)\) のフーリエ変換は、次の式で求められます。
\[ F(s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-isx} dx \]
これに、問題の \(f(x)\) を当てはめて、計算します。
\[ \begin{aligned} F(s) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-isx} dx\\[1.4em] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{\infty} e^{-(1+is)x} dx\\[1.4em] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big[ -\frac{e^{-(1+is)x}}{1+ix} \Big]_0^{\infty}\\[1.4em] &= - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{1+is} \cdot (-1)\\[1.4em] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi} (1+is)} \end{aligned} \]
- フーリエ変換 例題(1)
- フーリエ変換 例題(2)