t のラプラス変換
ここでは \(f(t)=t\) のラプラス変換を計算してみます。
ラプラス変換の結果だけ知りたい、という人は ラプラス変換表 をみてください。
ラプラス変換表から直ちに \( \mathcal{L}[t] = \dfrac{1}{s^2} \) とわかりますし、 あるいは \( \mathcal{L}[t^n] = \dfrac{n!}{s^{n+1}} \) で \(n=1\) のときと考えてもいいでしょう。
以下では、ゴリゴリと計算してみましょう。
ラプラス変換の定義から・・・
\[
\begin{aligned}
\mathcal{L}[f(t)] &= \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt \\
&= \int_0^{\infty} t e^{-st} dt \\
\end{aligned}
\]
で、これを計算します。ただし、\(s \gt 0\) とします。
部分積分することを念頭において、\(f(t) = t\)、\(g'(t) = e^{-st}\) とすると \(f'(t) = 1\)、 \(g(t) = -\dfrac{e^{-st}}{s}\) なので、 次のように計算できます。
\[
\begin{aligned}
\mathcal{L}[t] &= \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt \\
&= \int_0^{\infty} fg' dt \\
&= \Big[ fg \Big]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} f'g dt \\
&= \Big[ t \cdot (-\frac{e^{-st}}{s}) \Big]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} 1 \cdot (-\frac{e^{-st}}{s}) dt \\
&= -\frac{1}{s} \Big[ \frac{t}{e^{st}} \Big]_0^{\infty} + \frac{1}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} dt \\
\end{aligned}
\]
ここで、\(e^0 = 1\) なので
\[
\begin{aligned}
\Big[ \frac{t}{e^{st}} \Big]_0^{\infty} &= \lim_{x \to \infty} \Big[ \frac{t}{e^{st}} \Big]_0^{x} \\
&= \lim_{x \to \infty} \Big( \frac{x}{e^{sx}} - \frac{0}{e^0} \Big) \\
&= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{sx}}
\end{aligned}
\]
\(s \gt 0\) で \(x \to \infty\) のときに \(\dfrac{\infty}{\infty}\) なので、ロピタルの定理が使えます。
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{sx}} &= \lim_{x \to \infty} \frac{(x)'}{(e^{sx})'} \\
&= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{s e^{sx}} \\
&= 0
\end{aligned}
\]
さらに、
\[
\begin{aligned}
\int_0^{\infty} e^{-st} dt &= \Big[ -\frac{e^{-st}}{s} \Big]_0^{\infty} \\
&= -\frac{1}{s} \lim_{x \to \infty} \Big[ \frac{1}{e^{st}} \Big]_0^{x}\\
&= -\frac{1}{s} \lim_{x \to \infty} \Big( \frac{1}{e^{sx}} - \frac{1}{e^0} \Big) \\
&= \frac{1}{s}
\end{aligned}
\]
となるので、上の計算にもどると、
\[
\begin{aligned}
\mathcal{L}[t] &= \cdots \\
&= -\frac{1}{s} \Big[ \frac{t}{e^{st}} \Big]_0^{\infty} + \frac{1}{s} \int_0^{\infty} e^{-st} dt \\
&= -\frac{1}{s} \cdot 0 + \frac{1}{s} \cdot \ \frac{1}{s} \\
&= \frac{1}{s^2}
\end{aligned}
\]
となって、\( \mathcal{L}[t] = \dfrac{1}{s^2} \) が計算できました。