行列式の基本的な性質

ここでは行列式に関する、主な性質をまとめます。

転置行列の行列式は元の行列式に等しい

\(n\)次の正方行列 \(A=[a_{ij}]\) の転置行列を \(A^{T}\) と書くと、次が成り立ちます。

\[|A| = |A^{T}|\]

転置は列と行を入れ替える操作ですから、転置行列の行列式が元の行列式と等しいということは、ある行に対して成り立つことは、列に対しても成り立つことになります。これを行と列の双対性といいます。

\(1\) 行 (または列) を \(c\) 倍すると元の行列式の値が \(c\) 倍になる

\(n\)次の正方行列 \(A=[a_{ij}]\) で、\(1\)行を \(c\) 倍すると元の行列式の値 \(\det(A)\) が \(c\) 倍になります。

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{i1}} & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{i2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} &= \textcolor{red}{c} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{blue}{a_{i1}} & \textcolor{blue}{a_{i2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{blue}{a_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{aligned} \]

このことから特に、 \(c=0\) のとき、任意の \(1\) 行の要素が全て \(0\) のとき、行列式の値は \(0\) になります。

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\cdots} & \textcolor{red}{0} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} &= \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]

列の場合も同様に成り立ちます。\(1\)列を \(c\) 倍すると元の行列式の値 \(\det(A)\) が \(c\) 倍になります。

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{1i}} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{2i}} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{ni}} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} &= \textcolor{red}{c} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{1i}} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{2i}} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{ni}} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{aligned} \]

\(c=0\) の場合には、次のように行列式は \(0\) になります。

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \textcolor{red}{0} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & \textcolor{red}{0} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \textcolor{red}{\vdots} & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \textcolor{red}{0} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} &= \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]

\(1\)行 (または列) の各成分が、二つの数の和のときの行列式の値

\(n\)次の正方行列 \(A = [a_{ij}]\) で、ある行の各成分が、二つの数の和のとき、行列式の値は次のような行列式の和となります。

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{blue}{a_{i1}} + \textcolor{green}{b_{i1}} & \textcolor{blue}{a_{i2}} + \textcolor{green}{b_{i2}} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{in}} + \textcolor{green}{b_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\[1.1em] \ \ \ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{blue}{a_{i1}} & \textcolor{blue}{a_{i2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{blue}{a_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{green}{b_{i1}} & \textcolor{green}{b_{i2}} & \textcolor{green}{\cdots} & \textcolor{green}{b_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

列の場合も同様です。 ある列の各成分が、二つの数の和のとき、行列式の値は次のような行列式の和となります。

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{1i}} + \textcolor{green}{b_{1i}} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{2i}} + \textcolor{green}{b_{2i}} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{ni}} + \textcolor{green}{b_{ni}} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\[1.1em] \ \ \ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{blue}{a_{i1}} & \textcolor{blue}{a_{i2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{blue}{a_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{green}{b_{i1}} & \textcolor{green}{b_{i2}} & \textcolor{green}{\cdots} & \textcolor{green}{b_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

\(i\) 行目(または列)と \(j\) 行目(または列)を入れ替えると、符号が変わる

\(n\)次の正方行列 \(A=[a_{ij}]\) の \(i\) 行目と \(j\) 行目を入れ替えると、符号が変わります。

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{blue}{a_{i1}} & \textcolor{blue}{a_{i2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{blue}{a_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{green}{a_{j1}} & \textcolor{green}{a_{j2}} & \textcolor{green}{\cdots} & \textcolor{green}{a_{jn}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \ \textcolor{red}{\bold{-}} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{green}{a_{j1}} & \textcolor{green}{a_{j2}} & \textcolor{green}{\cdots} & \textcolor{green}{a_{jn}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{blue}{a_{i1}} & \textcolor{blue}{a_{i2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{blue}{a_{in}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

列の場合も同様です。 \(i\) 列目と \(j\) 列目を入れ替えると、符号が変わります。

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{1i}} & \cdots & \textcolor{green}{a_{1j}} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{2i}} & \cdots & \textcolor{green}{a_{2j}} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \textcolor{blue}{\vdots} & & \textcolor{green}{\vdots} & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{ni}} & \cdots & \textcolor{green}{a_{nj}} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \ \textcolor{red}{\bold{-}} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \textcolor{green}{a_{1j}} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{1i}} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \textcolor{green}{a_{2j}} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{2i}} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \textcolor{green}{\vdots} & & \textcolor{blue}{\vdots} & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \textcolor{green}{a_{nj}} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{ni}} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \]

\(i\) 行目(または列)と \(k\) 行目(または列)の成分がそれぞれ同じか比例しているとき、行列式は \(0\) となる

\(n\)次の正方行列 \(A=[a_{ij}]\) の \(i\) 行目と \(j\) 行目の成分がそれぞれ同じか比例しているとき、行列式は \(0\) となります。

\[ \begin{array}{c|cccc|} & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{green}{\footnotesize{(i \ \text{行目})}} & \textcolor{blue}{a_{i1}} & \textcolor{blue}{a_{i2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{blue}{a_{in}}\\ & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{green}{\footnotesize{(j \ \text{行目})}} & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{i1}} & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{i2}} & \textcolor{blue}{\cdots} & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{in}}\\ & \vdots & \vdots & & \vdots \\ & a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} = 0 \]

列の場合も同様です。\(i\) 列目と \(j\) 列目の成分がそれぞれ同じか比例しているとき、行列式は \(0\) となります。

\[ \begin{array}{c} \textcolor{green}{\footnotesize{(i\text{列目})}} \hspace{2em} \textcolor{green}{\footnotesize{(j \text{列目})}} \hspace{2.5em} \end{array} \\ \begin{array}{|ccccccc|} a_{11} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{1i}} & \cdots & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{1i}} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{2i}} & \cdots & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{2i}} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \textcolor{blue}{\vdots} & & \textcolor{blue}{\vdots} \\ a_{n1} & \cdots & \textcolor{blue}{a_{ni}} & \cdots & \textcolor{red}{c} \textcolor{blue}{a_{ni}} & \cdots & a_{nn} \end{array} = 0 \]

二つの同次の正方行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい

同じ次数の正方行列 \(A\) と \(B\) があるとき、次の式が成り立ちます。

\[ |AB| = |A||B| \]