曲率と曲率半径例題 (2): 常螺旋の曲率

常螺旋 \(\overrightarrow{r}(t)=a\cos t \overrightarrow{i}+a\sin t \overrightarrow{j}+ct \overrightarrow{k}\) の曲率 \(\kappa\) を求めよ。

位置ベクトルが弧長 \(s\) で表されていないときの、曲率の計算です。「曲率 (t をパラメータとする場合)」でわかったことを使って解きましょう。

\[ \kappa(t) = \frac{|\overrightarrow{r}'(t) \times \overrightarrow{r}''(t)|}{|\overrightarrow{r}'(t)|^3} \]

問題から \(\overrightarrow{r}(t)=a\cos t \overrightarrow{i}+a\sin t \overrightarrow{j}+ct \overrightarrow{k}\) ですから、 \(\overrightarrow{r}'\) は次の通り。

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{r}' &= -a \sin t \overrightarrow{i}+a \cos t \overrightarrow{j} + c \overrightarrow{k}\\ \therefore \ |\overrightarrow{r}'| &= \sqrt{(-a \sin t)^2+(a \cos t)^2 + c^2}\\ &= \sqrt{a^2 + c^2} \end{aligned} \]

\(\overrightarrow{r}'\) をさらに \(t\) で微分すると

\[ \overrightarrow{r}'' = -a \cos t \overrightarrow{i}- a \sin t \overrightarrow{j} \]

したがって、それらのベクトル積は次の通り。

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{r}' \times \overrightarrow{r}'' &= \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ -a \sin t & a \cos t & c \\ -a \cos t & -a \sin t & 0 \end{vmatrix}\\ &= ac \sin t \overrightarrow{i} - ac \cos t \overrightarrow{j} + (a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t) \overrightarrow{k}\\ &= ac \sin t \overrightarrow{i} - ac \cos t \overrightarrow{j} + a^2 \overrightarrow{k}\\ \therefore \ | \overrightarrow{r}' \times \overrightarrow{r}'' | &= \sqrt{(ac \sin t)^2+(-ac \cos t)^2+a^4}\\ &= \sqrt{a^2 c^2 + a^4}\\ &= a \sqrt{a^2+c^2} \end{aligned} \]

以上から、曲率 \(\kappa\) は次の式で求められる。

\[ \begin{aligned} \kappa(t) &= \frac{|\overrightarrow{r}'(t) \times \overrightarrow{r}''(t)|}{|\overrightarrow{r}'(t)|^3} \\ &= \frac{a \sqrt{a^2+c^2}}{(\sqrt{a^2 + c^2})^3}\\ &= \frac{a}{a^2+c^2} \end{aligned} \]

曲率と曲率半径 例題 (2): 常螺旋の曲率

曲率と曲率半径例題 (2): 常螺旋の曲率