点と直線の距離

ある点 $P$ を通り、方向ベクトルが $\overrightarrow{u}$ である直線 L があります。

このとき L と点 $Q$ との距離 D を求めましょう。

D は点 $Q$ から L に下ろした垂線の足までの距離になります。

図から直ちに、次の関係がわかります。

$$\begin{aligned} D &= \| \overrightarrow{PQ} \| \sin \theta \end{aligned}$$

ここで $\theta$ は $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{u}$ のなす角です。

ベクトル積では、次の関係があります。

$$\begin{aligned} \| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{u} \| &= \| \overrightarrow{PQ} \| \| \overrightarrow{u} \| \sin \theta\\ \therefore \ \sin \theta &= \frac{\| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{u} \|}{\| \overrightarrow{PQ} \| \| \overrightarrow{u} \|} \end{aligned}$$

以上から、直線Lと点Q との距離 D は次のようにかけます。

$$\begin{aligned} D &= \| \overrightarrow{PQ} \| \sin \theta \\ &= \| \overrightarrow{PQ} \| \frac{\| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{u} \|}{\| \overrightarrow{PQ} \| \| \overrightarrow{u} \|}\\ &= \frac{\| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{u} \|}{\| \overrightarrow{u} \|} \end{aligned}$$