流線の例題 (1)

問題ベクトル場 $\overrightarrow{F}=-y\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{j}$ において、点 $(1,0)$ を通る流線を求めよ。

解き方ベクトル場 $\overrightarrow{F}=F_1(x,y,z)\overrightarrow{i}+F_2(x,y,z)\overrightarrow{j}+F_3(x,y,z)\overrightarrow{k}$ の流線の方程式は、次で求められる。

\frac{dx}{F_1} = \frac{dy}{F_2} = \frac{dz}{F_3}

問題の式は $F_1 = -y$ 、 $F_2 = x$ 、 $F_3 = 0$ の場合であるから、( $F_3 = 0$ が分母に来るところは未定義なので除くと) 流線を求める微分方程式は次の式である。

\frac{dx}{-y} = \frac{dy}{x}

これは変数分離形の微分方程式です。

変数分離形の微分方程式の解法については「変数分離形の微分方程式の解き方」をみてください。

\begin{aligned} \int x dx &= - \int y dy\\ \frac{x^2}{2} &= - \frac{y^2}{2} + C \end{aligned}

$(1,0)$ のとき、 $C = \displaystyle\frac{1}{2}$ 。以上から、点 $(1,0)$ を通る流線の方程式は次である。

x^2 + y^2 = 1