流線の例題 (1)

問題 ベクトル場 F=yi+xj\overrightarrow{F}=-y\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{j} において、点(1,0)(1,0) を通る流線を求めよ。

解き方 ベクトル場 F=F1(x,y,z)i+F2(x,y,z)j+F3(x,y,z)k\overrightarrow{F}=F_1(x,y,z)\overrightarrow{i}+F_2(x,y,z)\overrightarrow{j}+F_3(x,y,z)\overrightarrow{k} の流線の方程式は、次で求められる。

dxF1=dyF2=dzF3 \frac{dx}{F_1} = \frac{dy}{F_2} = \frac{dz}{F_3}

問題の式は F1=yF_1 = -yF2=xF_2 = xF3=0F_3 = 0 の場合であるから、(F3=0F_3 = 0 が分母に来るところは未定義なので除くと) 流線を求める微分方程式は次の式である。

dxy=dyx \frac{dx}{-y} = \frac{dy}{x}

これは変数分離形の微分方程式です。

変数分離形の微分方程式の解法については 「変数分離形の微分方程式の解き方」をみてください。

xdx=ydyx22=y22+C \begin{aligned} \int x dx &= - \int y dy\\ \frac{x^2}{2} &= - \frac{y^2}{2} + C \end{aligned}

(1,0)(1,0) のとき、C=12C = \displaystyle\frac{1}{2}。以上から、点(1,0)(1,0) を通る流線の方程式は次である。

x2+y2=1 x^2 + y^2 = 1

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