スカラー場の勾配 問題 (1)
問題 r=xi+yj+zk というベクトルに対して、
その大きさを r=∣r∣ とする。このとき、次の (A) から (D) のうち、正しいものを選べ。
(A) ∇r=r2r
(B) ∇r=−rr
(C) ∇r=−r3r
(D) ∇r=rr
∇ は勾配ベクトル の演算子で、次のように定義されます。
∇=∂x∂i+∂y∂j+∂z∂k
スカラー関数に作用して、そのスカラー関数の勾配ベクトルを求めます。
r は原点からの距離を表す関数で、r=x2+y2+z2 です。
r を x、y、z それぞれで偏微分すると、次のようになります。
∂x∂r=21(x2+y2+z2)−21⋅2x=x2+y2+z2x=rx
y、z に対しても同様に計算して、∂y∂r=ry、
∂z∂r=rz となります。
ゆえに、r の勾配ベクトルは次のようになります。
∇r=∂x∂ri+∂y∂rj+∂z∂rk=rxi+ryj+rzk=rxi+yj+zk=rr
よって、答えは(D) です。
∇r=rr の意味は?
この問題文の関係、つまり ∇r=rr はどういうことか、少し考えてみましょう。
まず、r=xi+yj+zk は、
次のグラフのように原点から放射状、外向きに向かうベクトル場を作ります。
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ベクトル r の大きさは、原点からの距離に比例して大きくなります。
rr=∣r∣r というベクトルは、
ベクトル r 向きの単位ベクトル (大きさ 1 のベクトル) を表します。
一般的にベクトル a があるときに、そのベクトル自身の大きさ ∣a∣ で割ったベクトルは、
そのベクトル向きの単位ベクトルになります。例えば、大きさ 5 のベクトルなら、5 で割れば大きさ 1 のベクトルになりますよね。
さて、この問題で勾配ベクトルをとるスカラー関数は、原点からの距離を表す関数 r(x,y,z)=x2+y2+z2 ですから、
等位面は球面になります。
勾配ベクトルは等位面に対して垂直方向を向き、そのスカラー関数の値を最も増加させる向きを示します。
つまり ∇r=rr という結果は、
『空間上の点 A から、どの方向に動いたら最も効率よく r が増えるか (r の勾配が急であるか) 』
というと、それは
『半径方向に動いた時であり、そのときの増加割合は 1 である』
ということを意味しています。
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「増加割合は1である」というところは、半径方向に 1 動いたら、半径が 1 増加する、ということですから、当然のことですね。
この状況を理解していれば ∇r=rr という関係は、とても自然な結論であることがよくわかると思います。