部分積分の問題 (1)
次の定積分の値を求めよ。
\(\ln x\) は自然対数です。 ネイピア数 \(e\) を底とする対数で、\(\log_e x = \ln x\) です。
\(x\ln x\) の原始関数は、暗記でもしていない限り、すぐにはわかりませんね。
関数 \(F(x)\) を微分して \(f(x)\) になるとき、\(F(x)\) を \(f(x)\) の原始関数と言います。
そこで \(x\ln x\) を \(x\) と \(\ln x\) の掛け算とみなしてみます。\(x\) の原始関数は \(\displaystyle\frac{x^2}{2}\) とわかります。 \(\ln x\) の原始関数は直ちにはわかりませんが、微分は簡単にできて \((\ln x)' = \displaystyle\frac{1}{x}\) です。
これは部分積分でいけそうですね。
\(f(x)=\ln x\)、\(g'(x)=x\) とすると、\(f'(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\)、\(g(x)=\displaystyle\frac{x^2}{2}\) です。
部分積分の関係式、
の \(f(x)\)、\(g(x)\) などに当てはめていくと、次のようになります。
\[ \begin{aligned} \int^e_1 x \ln x dx &= \Bigg[\frac{x^2 \ln x}{2}\Bigg]^e_1 - \int^e_1 \frac{1}{x} \frac{x^2}{2} dx \\ &= \Big(\frac{e^2 \ln e}{2} - \frac{\ln 1}{2}\Big) - \frac{1}{2} \int^e_1 x dx\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \Bigg[\frac{x^2}{2}\Bigg]^e_1\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \Big(\frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\Big)\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}\\ &= \frac{e^2 + 1}{4} \end{aligned} \]
次のビデオも参考にしてください。