部分積分の問題 (2)
次の定積分の値を求めよ。
簡単には積分できないので、部分積分を適用することを考えます。
被積分関数の \(x \sin 4x\) は \(x\) と \(\sin 4x\) の掛け算になっていることはすぐにわかりますね。また、\((x)' = 1\) ですから、この部分を微分すれば簡単になりそうな見当がつきます。
\(f(x)=x\)、\(g'(x)=\sin 4x\) とすると、\(f'(x)=1\)、\(g(x)=-\displaystyle\frac{\cos 4x}{4}\) です。
部分積分の関係式、
の \(f(x)\)、\(g(x)\) などに当てはめていくと、次のようになります。
\[ \begin{aligned} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 x \sin 4x dx &= \Bigg[-\frac{x \cos 4x}{4}\Bigg]^{\frac{\pi}{2}}_0 - \int^{\frac{\pi}{2}}_0 -\frac{\cos 4x}{4} dx \\ &= -\frac{1}{4}\Bigg(\frac{\pi}{2}\cos 2\pi - 0\Bigg) + \frac{1}{4} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos 4x dx \\ &= -\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \Bigg[\frac{\sin 4x}{4}\Bigg]^{\frac{\pi}{2}}_0 \\ &= -\frac{\pi}{8} + \frac{1}{16}\Big(\sin 2\pi - \sin 0)\\ &= -\frac{\pi}{8} \end{aligned} \]
三角関数が出てきて、ややこしそうな印象を受けるかもしれませんが、積分区間は \(0\) から \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) と、 キリのいい数字が出てきますので、あまり恐れることはありません。