解き方 f(x)=x、g′(x)=sin4x とすると、f′(x)=1、g(x)=−4cos4x です。
部分積分の関係式、
∫abf(x)g′(x)dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x)dx
の f(x)、g(x) などに当てはめていくと、次のようになります。
∫02πxsin4xdx=[−4xcos4x]02π−∫02π−4cos4xdx=−41(2πcos2π−0)+41∫02πcos4xdx=−8π+41[4sin4x]02π=−8π+161(sin2π−sin0)=−8π