部分積分の問題 (2)

問題 次の定積分の値を求めよ。

∫1π2xsin⁡4xdx \int^{\frac{\pi}{2}}_1 x \sin 4x dx

簡単には積分できないので、部分積分を適用することを考えます。

被積分関数の xsin⁡4xx \sin 4x は xx と sin⁡4x\sin 4x の掛け算になっていることはすぐにわかりますね。また、(x)′=1(x)' = 1 ですから、この部分を微分すれば簡単になりそうな見当がつきます。

解き方 f(x)=xf(x)=x、g′(x)=sin⁡4xg'(x)=\sin 4x とすると、f′(x)=1f'(x)=1、g(x)=−cos⁡4x4g(x)=-\displaystyle\frac{\cos 4x}{4} です。

部分積分の関係式、

∫abf(x)g′(x)dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x)dx \int^b_a f(x)g'(x) dx = \Big[f(x)g(x)\Big]^b_a - \int^b_a f'(x)g(x) dx

の f(x)f(x)、g(x)g(x) などに当てはめていくと、次のようになります。

∫0π2xsin⁡4xdx=[−xcos⁡4x4]0π2−∫0π2−cos⁡4x4dx=−14(π2cos⁡2π−0)+14∫0π2cos⁡4xdx=−π8+14[sin⁡4x4]0π2=−π8+116(sin⁡2π−sin⁡0)=−π8 \begin{aligned} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 x \sin 4x dx &= \Bigg[-\frac{x \cos 4x}{4}\Bigg]^{\frac{\pi}{2}}_0 - \int^{\frac{\pi}{2}}_0 -\frac{\cos 4x}{4} dx \\ &= -\frac{1}{4}\Bigg(\frac{\pi}{2}\cos 2\pi - 0\Bigg) + \frac{1}{4} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos 4x dx \\ &= -\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \Bigg[\frac{\sin 4x}{4}\Bigg]^{\frac{\pi}{2}}_0 \\ &= -\frac{\pi}{8} + \frac{1}{16}\Big(\sin 2\pi - \sin 0)\\ &= -\frac{\pi}{8} \end{aligned}



三角関数が出てきて、ややこしそうな印象を受けるかもしれませんが、積分区間は 00 から π2\displaystyle\frac{\pi}{2} と、 キリのいい数字が出てきますので、あまり恐れることはありません。

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