部分積分の問題 (3)
次の定積分の値を求めよ。
\[
\int^1_0 \frac{\rho^3}{\sqrt{1-\rho^2}} d\rho
\]
変数が \(x\) ではなく、ギリシャ文字のロー \(\rho\) になっていますが、考え方はもちろん \(x\) でも \(\rho\) でも一緒です。
ちょっと見慣れなくて嫌だな、と感じる人もいるかもしれませんが、この形の積分は極座標変換のときに、 よく \(\rho\) を変数として出てきますので、このまま慣れておくのがいいと思います。(無駄にややこしくしたわけではありません)
被積分関数を少し工夫します。
\[
\int^1_0 \frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} \cdot \rho^2 d\rho
\]
このように見立てると、
\[
\begin{aligned}
\Big(-\sqrt{1-\rho^2}\Big)' &= -\frac{1}{2} (1-\rho^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2\rho) \\
&= \frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}
\end{aligned}
\]
という関係がありますので、\(f(\rho)=\rho^2\)、\(g'(\rho)=\displaystyle\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}\) として、 部分積分で進めます。
被積分関数を \(\displaystyle\frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} \cdot \rho^2\) とし、 部分積分の公式を用いると次のようにかけます。
\[
\begin{aligned}
\int^1_0 \frac{\rho^3}{\sqrt{1-\rho^2}} d\rho &= \int^1_0 \frac{\rho}{\sqrt{1-\rho^2}} \cdot \rho^2 d\rho \\
&= \Big[\rho^2 \cdot (-\sqrt{1-\rho^2})\Big]^1_0 - \int^1_0 2\rho (-\sqrt{1-\rho^2}) d\rho\\
&= 2 \int^1_0 \rho \sqrt{1-\rho^2} d\rho \\
&= 2 \Bigg[-\frac{(1-\rho^2)^{\frac{3}{2}}}{3}\Bigg]^1_0\\
&= 2 \Big(0 - \big(-\frac{1}{3}\big)\Big)\\
&= \frac{2}{3}
\end{aligned}
\]