三角関数の積分公式問題 (1)

次の関数の不定積分を求めよ。

\[ \frac{1}{x^2 + 6x + 13} \]

有理関数 (rational function) の積分の計算です。

有理関数というのは、多項式を分子と分母に持つ関数のことです。分子は定数ですが、定数多項式 (constant polynomial) として多項式といえます。

有理関数の積分の計算でよくやるのは、まず、分子分母の次数を下げ、それから分母を因数分解し、さらにそれを部分分数展開をして、被積分関数を簡略化する、という方針でしょう。

でも今回は、分子は既に 1 という定数。さらに分母はきれいに因数分解もできないようです。

さて、どうしましょう。

分数を含む積分公式を思い出すと、次がありますね。

\[ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2 + 1} dx &= \arctan x + C \end{aligned} \]

これに持ち込めないかやってみましょう。

\((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\) ですから、問題の \(x^2 + 6x + 13\) という式は

\[ x^2 + 6x + 13 = \underbrace{(x+3)^2}_{x^2+6x+9} + 4 \]

ですね。\(4 = 2^2\) ですから、なんとなく、わざとらしく二乗がでてくるような感じで、計算できそうな気がしてきました。

この公式を使う方針でやってみましょうか。

\[ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^2 + 6x + 13} dx &= \int \frac{1}{(x+3)^2 + 4} dx \end{aligned} \]

\(u = x+3\) とおくと、

\[ \begin{aligned} \frac{du}{dx} &= 1\\ \therefore dx &= du \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \int \frac{1}{(x+3)^2 + 4} dx &= \int \frac{1}{u^2 + 4} du \end{aligned} \]

これで、だいぶ公式に近づきましたが、公式をよく見ると分母の２個目の項は \(+4\) ではなく、 \(+1\) です。ここを \(1\) にするために、\(4\) でくくります。

\[ \begin{aligned} \int \frac{1}{u^2 + 4} du &= \frac{1}{4} \int \frac{1}{\Big(\cfrac{u}{2}\Big)^2 + 1} du \end{aligned} \]

ここでさらに \(v = \cfrac{u}{2}\) とおくと、

\[ \begin{aligned} \frac{dv}{du} &= \cfrac{1}{2}\\ \therefore du &= 2 dv \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \frac{1}{4} \int \frac{1}{\Big(\cfrac{u}{2}\Big)^2 + 1} du &= \frac{1}{4} \int \frac{1}{v^2 + 1} 2dv\\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{v^2 + 1} dv\\ &= \frac{1}{2} \arctan v + C\\ &= \frac{1}{2} \arctan \Big(\cfrac{u}{2}\Big) + C\\ &= \frac{1}{2} \arctan \Big(\cfrac{x+3}{2}\Big) + C \ \ \ (\text{\small{C は積分定数}}) \end{aligned} \]

これで不定積分を求めることができました。

三角関数の積分公式 問題 (1)

三角関数の積分公式問題 (1)