フーリエ級数 例題(2)

この問題では \(x\) の範囲が \(-2\) から \(2\) で与えられています。 \(f(x)\) は周期関数としていますから、これをひとつの周期として、このパターンが繰り返されると考えます。

周期 \(p = 2L\) の関数 \(f(x)\) が、区分的に滑らかであれば、フーリエ級数は次のように求められます。

この問題では周期は、\(-2\) から \(2\) で \(4\)。したがって、\(p = 2L = 4\) から、 \(L = 2\) として、上のフーリエ係数の式に当てはめます。

まず \(n=0\) のとき

\[ \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx\\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2} 2 dx\\ &= \Big[x\Big]_0^2\\ &= 2 \end{aligned} \]

\(n = 1, 2, \cdots\) のとき、\(a_n\) は

\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} dx\\ &= \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \cos \frac{n\pi x}{2} dx\\ &= \frac{1}{2} \Big\{\int_{-2}^{0} 0 \cdot \cos \frac{n\pi x}{2} dx + \int_{0}^{2} 2 \cos \frac{n\pi x}{2} dx\Big\} \\ &= \int_{0}^{2} \cos \frac{n\pi x}{L} dx\\[1.5em] &= \Big[ \frac{2}{n\pi} \sin \frac{n\pi x}{2} \Big]_0^2\\[1.5em] &= \frac{2}{n\pi}\sin n\pi \\[1.5em] &= 0 \end{aligned} \]

同じく \(n = 1, 2, \cdots\) のとき \(b_n\) は

\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx\\ &= \frac{1}{2} \int_0^2 2 \sin \frac{n\pi x}{2} dx\\[1.5em] &= \Big[ -\frac{2}{n\pi} \cos \frac{n\pi x}{2}\Big]_0^2\\[1.5em] &= -\frac{2}{n \pi}( \cos n\pi - 1)\\[1.5em] &= -\frac{2}{n\pi}\{(-1)^n - 1\}\\[1.5em] &= \frac{2}{n\pi}\{(-1)^{n+1} + 1\} \end{aligned} \]

以上から、周期関数 \(f(x)\) のフーリエ級数は、次のように書けます。

\[ f(x) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[ \frac{2}{n\pi}\{(-1)^{n+1} + 1\} \sin \frac{n\pi x}{2} \Big] \]

\(n=1, 2, \cdots\) として、少し書き下してみましょう。

\(n=1\) のとき、\(\displaystyle{\frac{4}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}}\)。

\(n=2\) のとき、\(0\)。

\(n=3\) のとき、\(\displaystyle{\frac{4}{\pi}\cdot\frac{1}{3}\sin\frac{3\pi x}{2}}\)。

\(n=4\) のとき、\(0\)。

\(n=5\) のとき、\(\displaystyle{\frac{4}{\pi}\cdot\frac{1}{5}\sin\frac{5\pi x}{2}}\)。

したがって、\(f(x)\) のフーリエ級数の初めの数項を書き下すと、

\[ f(x) = 1 + \frac{4}{\pi}\Big(\sin\frac{\pi x}{2} + \frac{1}{3} \sin\frac{3\pi x}{2} + \frac{1}{5}\sin\frac{5\pi x}{2}+\cdots\Big) \]

となります。

• フーリエ級数 例題(1)
• フーリエ級数 例題(2)
• フーリエ級数 例題(3)
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