フーリエ正弦積分 例題(1)
次の関数のフーリエ正弦積分を求めよ。
\[ f(x) = \begin{cases} \ \ 1 \ \ &(0 \lt x \lt \pi)\\ \ \ 0 \ \ &(x \gt \pi) \end{cases} \]
この問題と同じ関数のフーリエ余弦積分については「フーリエ余弦積分 例題 (2)」をみてください。
\(f(x)\) を奇周期的に拡張して奇関数とみなすことで、フーリエ正弦積分の式にあてはめることができます。
フーリエ正弦積分は
\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} B(s) \sin sx ds\\ B(s) &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \sin st dt\\ \end{aligned} \]
ですから、この問題の場合は、
\[ \begin{aligned} B(s) &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin st dt\\[1.4em] &= \frac{2}{\pi} \Big[ -\frac{\cos st}{s} \Big]_0^{\pi}\\[1.4em] &= \frac{2 (1 - \cos \pi s)}{\pi s} \end{aligned} \]
となります。
したがって、\(f(x)\) のフーリエ正弦積分表示は
\[ f(x) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{1 - \cos \pi s}{s} \sin xs ds \]
となります。
- フーリエ正弦積分 例題(1)
- フーリエ正弦積分 例題(2)