弧長の求め方 - パラメータ表示例題 (1)

問題 $x$ と $y$ が $x = t$ 、 $y = 2t$ で与えられている。 $t$ の範囲は $[0, 1]$ とする。 $(x,y)$ の軌跡の弧長を求めよ。

$x = t$ として $y=2t$ ですから、パラメータ無しで簡単に書けば $y = 2x$ 。つまり、この軌跡は直線 $y=2x$ の $0 \le x \le 1$ の部分です。

パラメータを使った形式の練習問題として、 $x$ を $t$ に書き換えただけです。

曲線 (ここでは直線ですが) の弧長は「弧長の求め方 - パラメータ表示」でみたように、次の式で求められます。

$t$ を媒介変数 (パラメータ) として、 $x = x(t)$ 、 $y=y(t)$ のとき、 $t$ の範囲を $[a, b]$ としたときの弧長 $L$ は次の式で求められる。

\begin{aligned} L &= \int_{a}^{b} \sqrt{ [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 } dt \end{aligned}

この公式で弧長 $L$ を求めてみましょう。

解き方今、 $x = t$ 、 $y = 2t$ であり、 $t$ の範囲は $[0, 1]$ である。

この時、上記の公式から弧長 $L$ は次の式で求められる。

\begin{aligned} L &= \int_0^1 \sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2} dt \\ &= \int_0^1 \sqrt{1 + 2^2} dt\\ &= \int_0^1 \sqrt{5} dt\\ &= \sqrt{5} \int_0^1 dt\\ &= \sqrt{5} \end{aligned}

弧長の求め方 - パラメータ表示 例題 (1)