2階同次線形微分方程式 例題 (1)
次の微分方程式を解け。
\[y''＋3y'-4y=0\]
問題の微分方程式は、定数係数の2階同次線形微分方程式です。
「定数係数の2階同次線形微分方程式の解法」でみたように、特性方程式から一般解を求めてみましょう。
問題の微分方程式の特性方程式は、 \(\lambda^2+3\lambda-4=0\) です。
\[ \begin{aligned} \lambda^2+3\lambda-4 &= 0\\ (\lambda-1)(\lambda+4) &= 0\\ \therefore \ \lambda &= 1, -4 \end{aligned} \]
特性方程式が異なる二実根 \(\lambda_{1}\)、\(\lambda_2\) を持つ場合、 2階同次線形微分方程式の一般解は \(y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\) です。 従って、この問題の一般解は \(y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x}\) となります。(\(C_1\)、\(C_2\) は任意の定数)