2階同次線形微分方程式 例題 (3)
次の微分方程式を解け。
\[y''-4y'+13y=0\]
問題の微分方程式は、定数係数の2階同次線形微分方程式です。「定数係数の2階同次線形微分方程式の解法」でみたように、特性方程式から一般解を求めます。
この問題は特性方程式が虚根を持つ場合です。
問題の微分方程式の特性方程式は、 \(\lambda^2-4\lambda+13=0\) です。
二次方程式の解の公式を使うと、これは次のように解けます。
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{4 \pm \sqrt{16-4 \cdot 13}}{2}\\ &= \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2}\\ &= \frac{4 \pm 6i}{2}\\ &= 2 \pm 3i \end{aligned} \]
特性方程式が虚根 \(\lambda_1 = a+bi\) と \(\lambda_2 = a - bi\) を持つ場合、 2階同次線形微分方程式の一般解は
\[y = e^{ax} (C_1 \cos bx + C_2 \sin bx) \]
従って、この問題の一般解は \(y = e^{2x} (C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)\) となります。(\(C_1\)、\(C_2\) は任意の定数)